СОДЕРЖАНИЕ

Доказательство теорем и решение задач на доказательство, пожалуй, чаще всего вызывает сложности в школьном курсе геометрии. Ученики оказываются не в силах воспроизвести доказательную логику, о которой учитель мимолётно говорил, показывая пример доказательства теоремы, потому что у них нет чёткого плана действий: в итоге ребята рискуют завалить не только школьные экзамены, но даже ЕГЭ. Чтобы подобное не приключилось с вашим ребёнком, мы расскажем вам, что такое теорема, чем она отличается от аксиомы, и так пошагово разложить доказательство, чтобы оно давало верный ответ.

Теорема, аксиома и доказательство

Теорема — это математический тезис, справедливость которого можно определить путём доказательств с использованием определений, математических понятий, уже некогда доказанных теорем, а также аксиом.

Аксиома (от древнегреческого определения «axioma» — утверждение, постулат) — это исходное положение теории, которое принимается в контексте этой теории как истинное, и не требует доказательств.

Доказательством теоремы называется логическая последовательность рассуждений на основе математических аргументов, которая подтверждает истинность утверждения, заложенного в теорему.

Почему детям трудно решать задачи на доказательство?

Задания по геометрии, требующие доказательств, не являются самыми сложными среди разновидностей математических задач. Проблемы могут возникать из-за специфики преподавания этой темы в школе.

Типичной является ситуация, когда преподаватель, пытаясь донести ученикам, что такое доказательство в геометрии, просто демонстрирует алгоритм доказательства на доске, и далее просит школьников переписать решение в тетрадь, не заботясь о том, чтобы дети поняли причинно-следственные связи доказательства. На следующий урок даётся задание — выучить написанное. В итоге ребята просто бездумно зазубривают текст, не понимая его смысла, и воспроизводят его письменно, когда их вызывают к доске, чтобы получить оценку.

Очевидно, что подобный подход не способствует пониманию сути и процесса доказательства, которые требуют умения выделять:

Какие есть способы научиться доказывать теоремы в геометрии: от простого к сложному?

В 7 классе, когда проходят тему доказательства в геометрии, школьники уже достаточно взрослые, чтобы выстраивать логические цепочки событий. В геометрии всё, как и в жизни: у всего есть причины и следствия, выстраивающиеся друг за другом на манер цепочки. Поэтому, если ученику сложно сразу приводить доказательства на языке математики, можно попробовать:

Вообразите, что вы пишете рассказ, где вам нужно пояснить и доказать теорему. А у каждого рассказа есть действующие лица (герои), у которых в вашем рассказе своя роль и функции: у точки она одна, у угла уже другая, а у прямой — третья. Так, трапеция в теореме «средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме» — это героиня, которая решила сшить себе наряд. Для этого она отправилась в ателье снимать мерки, и оказалось, что поясок на талии (средняя линия) будет располагаться на платье параллельно основе, на которой трапеция стоит, и верхушке, а его длина ровно наполовину короче, чем половина длины, получившейся, если сложить длины оснований.

В геометрии принципиально важна наглядность, поэтому, прежде чем приступать к решению, продублируйте у себя в тетради рисунок или чертёж из задачи, проговаривая для себя, что дано, и что требуется доказать. Повторите, если непонятно, несколько раз, чтобы у мозга появилось дополнительное время на восприятие информации. Чтобы сделать чертёж выразительнее и понятнее, рисуйте важные его элементы, используя разноцветные маркеры, карандаши или ручки.

Чтобы облегчить процесс понимания, можно воспользоваться методом взаимного пересказа, когда вы объясняете доказательство теоремы своему однокласснику так, как его поняли, а потом он делает для вас то же самое. Так вам будет легче понять логику доказательства, и увидеть ложные шаги, свои и другого.

Вместо того, чтобы расстраиваться, что преподаватель пометил в вашей тетради ошибку, посмотрите на неё с позитивной стороны.

Сядьте и проанализируйте:

Вдумчивый анализ ошибок — один из самых действенных способов понять, как доказывать задачи по геометрии.

Попытка доказать сложную теорему сразу может провалиться, потому что вы не выстроили мыслительную цепочку, ведущую к доказательству.

Сделать это можно так:

Если вам сложно понять, как доказывать утверждение на математическом языке, попробуйте представить этот процесс на наглядном примере. Допустим, вы стилист по волосам, и к вам пришла клиентка, чтобы вы ей сделали причёску на вечеринку.

Для этого вам нужно:

Решение задачи на доказательство на примере теоремы Пифагора

Теорема Пифагора звучит следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Приведём доказательство. Для этого:

На нашем чертеже из вершины треугольника (С) проведём высоту (Н) на его гипотенузу (АВ). И окажется, что получившийся после обозначения высоты треугольник ACH является подобным треугольнику ABC по двум углам. Угол АСВ равен углу CНА = 90°, при этом угол А — общий угол обоих треугольников. Поэтому будет верным утверждение, что треугольник СВН подобен треугольнику ABC.

Обозначим сторону треугольника BC как «а», АС как «b», AB как «с». Исходя из подобия треугольников оказывается, что а /с = НВ/а, b/c = АН/b.

Значит, пометим: a² = с х НВ, b² = с х АН. Теперь нам необходимо сложить неравенства, которые у нас получились: a² + b² = с х НВ + с х АН a² + b² = с х (НВ + АН) a² + b² = с х АВ a² + b² = с х с a² + b² = c²

Образовательная платформа iSmart — верный помощник в решении задач по геометрии любой сложности

Чтобы научиться решать геометрические задачи на доказательство, школьникам жизненно необходимо регулярно практиковать данный тип заданий по теме. Просто повторив за преподавателем доказательство теоремы (даже несколько), научиться делать это самостоятельно не получится. С другой стороны оставлять ученика наедине со сборником задач на доказательство в надежде, что он разберётся с решением сам — тоже не лучший вариант.

Чтобы ребёнок научился логически мыслить, рассуждать, выстраивая причинно-следственные связи на математическом языке чисел, формул и чертежей, ему необходимо помощь и руководство. Логическое мышление — это навык, и ему необходимо время, чтобы закрепиться. Таким помощником может стать образовательная платформа iSmart — современный интерактивный инструмент дополнительного образования, который оказывает всестороннюю поддержку ученикам с 1 по 11 классы в освоении школьной программы. Платформа позволяет добрать те знания, которых ребёнку не хватило в рамках школьного преподавания, в то время, которое удобно ему, а не учителю или расписанию.

На iSmart детям доступно более 600.000 заданий. И это не только математические дисциплины, но и любые предметы, которые проходят в школе.

Платформа работает как интерактивный сервис. Это означает, что темы, предметы, классы вы выбираете сами, задавая iSmart актуальные параметры по своему выбору, и получаете подборку релевантных заданий с понятными подсказками. Это важно, потому что ученики не всегда могут решить задачку с первого раза, и бегут к родителям или репетитору (если ребёнок с ним занимается) за помощью. iSmart предоставляет эту помощь дозировано, создавая условия, чтобы ребёнок сам, своим умом пришёл к правильному ответу.

Занятия на платформе также имеют для ребёнка значимые ограничения: нельзя, не выполнив задание по теме, перескочить на следующее. Ключ к новому заданию — правильный ответ в предшествующем. Основа каталога заданий платформы iSmart — школьная программа. Но она содержит и вспомогательные разделы для:

В iSmart встроена мотивационная система для пользователей. Они могут, правильно выполняя задания, повышать свой рейтинг (личный и среди школ), и зарабатывать смарткойны (игровую валюту), с которой можно участвовать в онлайн-играх на сайте платформы (вкладка «Игра»).

Алгоритм подбора задания на платформе максимально прост:

В процессе решения вы можете использовать онлайн-черновик справа, и подсказки (нажать «Показать подсказку»), которые помогут вам сориентироваться, и найти верную логику доказательства. В конце, чтобы избежать ошибок, посмотрите верный ответ («Подсказка (ответ)»), и в правом нижнем углу нажмите на жёлтое поле «Подтвердить». При правильном ответе платформа iSmart переведёт вас к следующему заданию. Если же в ходе доказательства была допущена ошибка, iSmart предложит пояснения и вернёт вас к заданию для повторного решения.

Чтобы получить доступ ко всем функциональным возможностям платформы, достаточно пройти простую регистрацию, и обзавестись личным аккаунтом. Сделать это можно всего за 7-10 минут. Основной аккаунт — это родительский кабинет, где вы можете отслеживать успехи вашего ребёнка на платформе, а также профиль ребёнка. Пошаговую последовательность действий при регистрации вы можете найти в статье «Как зарегистрироваться на образовательной платформе iSmart: пошаговая инструкция».

Не раздумывайте долго, зарегистрируйте вашего юного гения на iSmart уже сегодня, и смело приступайте к решению задач. Всего 15-20 минут ежедневных практических занятий с iSmart помогут вашему ребёнку не только эффективнее осваивать школьную программу по геометрии, но и в целом опережать своих одноклассников по успеваемости!