Алгебраические выражения и уравнения для школьников
Алгебраические выражения и уравнения для школьников
СОДЕРЖАНИЕ
Математические операции с алгебраическими уравнениями и выражениями в школьной программе знаменуют переход школьников от предмета «математика» в начальной школе к более взрослой и серьёзной дисциплине — алгебре, где ученикам придётся осваивать сложные комплексные вычисления.
Впервые столкнувшись с понятиями алгебраического выражения и уравнения, которое нужно как-то решать, школьник может запаниковать, ведь раньше он решал только примеры с простыми арифметическими действиями, а если ещё и объяснение учителя недостаточно понятно, это вовсе может привести к стрессу.
Чтобы вы могли легко и быстро рассказать, и показать ребёнку, как решаются алгебраические выражения и уравнения, мы подготовили подробную статью-экскурс в эту тему.
Какие выражения называются алгебраическими, и чем они отличаются от алгебраических уравнений?
Алгебраическое выражение — это числа и переменные (неизвестные числа), которые объединены математическим действием (вычитанием, сложением, делением, умножением), и не имеют приравненного числа или другого алгебраического выражения (в этом заключается их принципиальное отличие от алгебраических уравнений, в которых такое равенство есть).
Алгебраическими считаются как буквенные, так и числовые выражения. Последние представляют собой ряд знаков, чисел и математических действий со смыслом.
Смысл числового выражения заключается в возможности вычислить значения записи. Если сделать это нельзя (когда, например, в ходе решения возникает ситуация деления на 0), выражение считается лишённым смысла.
Пример: 56 / 6 х (8 + 4).
Буквенное выражение — это записанная последовательность букв, знаков, чисел и арифметических действий со смыслом. Буквы в данном случае называют переменными, а само выражение выражением с переменными.
Пример: 6c – 8, где с — переменная.
Все алгебраические выражения можно разделить на целые и дробные.
ВАЖНО: В целых алгебраических выражениях в знаменателе нет и не может быть переменных.
Например: х + 4a — это целое алгебраическое выражение, но a + b / c — дробное алгебраическое выражение.
Как решать алгебраические выражения?
Решение алгебраического выражения заключается в поиске его значения и упрощении. Значение алгебраического выражения — это итоговое число, которое мы получаем после выполнения всех математических действий, которые заданы в выражении.
Вычислить значение алгебраического выражения с переменными возможно при соблюдении следующего условия: у входящих в него переменных должны быть заданы числовые значения (значения переменных).
Значения переменных могут быть: допустимыми (если переменным заданы числовые значения, имеющие смысл).
Например, для выражения 5 / (2a) допустимым будет значение переменной, где а = 1.
Чтобы убедиться в этом, подставим вместо «а» в выражение единицу, и получим 5 / (2 x 1) = 2,5; недопустимыми (если заданные значения переменных делают алгебраическое выражение бессмысленным). Для данного алгебраического выражения (5 / (2a) недопустимым значением переменной окажется 0.
Проверим это, подставив 0 вместо «а», и получим: 5 / (2 x 0). В результате мы приходим к необходимости делить 5 на 0, а, как известно, делить на 0 нельзя. Значит, при значении переменной равном 0 выражение не имеет смысла.
Чтобы понять, как это работает на практике, выполним преобразование алгебраических выражений на конкретном примере: 8а - 14 x (5 - а) при условии, что значение переменной а = 3.
Перед тем как приступить к решению, нам необходимо заменить переменную её числовым значением.
Если изначальное выражение выглядит как:
8а -14 х (5 - а),
то, подставив вместо «а» число 3 (в нашем случае),
мы получим следующую картину: 8 х 3 х - 14 х (5 - 3).
Теперь нам остаётся последовательно выполнить каждое арифметическое действие.
Сначала решим пример в скобках: 5 - 3 = 2.
Затем 8 умножим на 3, и получим число 24.
Далее 14 умножим на полученный в скобках результат: 14 х 2 = 28.
И в конце от 24 отнимем 28, и получим отрицательное число -4. Это означает, что значение алгебраического выражения 8а - 14 х (5 - а) при условии, что а = 3, является -4.
Алгебраические уравнения и их виды
Алгебраическое уравнение — это уравнение, состоящее из алгебраического выражения (с последовательностью арифметических действий), приравненное к числу либо к другому алгебраическому выражению.
В отличие от алгебраического выражения алгебраическое уравнение можно решить, и получить правильный однозначный ответ.
Примерами алгебраических уравнений могут быть:
В результате решения алгебраического уравнения мы должны получить верное равенство, то есть после упрощения каждого из выражений до и после знака «=» у нас должны получиться одинаковые числа.
Алгебраические уравнения бывают разных видов с степени сложности решения:
Пример: 2x + 9 = 13 - х);
квадратные (уравнения второй степени вида: а х 2 + 6x + с = 0, где «а» не равно 0, «а, в, с» — коэффициенты);
дробные (уравнения с дробями, где «x» стоит в знаменателе;
Например: x - 3 / x+ 3 / x² + 2x = 1/ x + 2);
иррациональные (уравнения, в которых присутствует иррациональное алгебраическое выражение с неизвестной переменной, то есть «х» будет со знаком корня: √x: √х - 2 = √3x-6);
уравнение с модулем (уравнение, в котором неизвестная переменная стоит под знаком модуля (абсолютной величины): |x – 1| - 2 |x – 2| + 3 |x – 3| = 4).
Решение простых линейных алгебраических уравнений
Решить алгебраическое уравнение верно, значит убедиться, что левая часть алгебраического выражения в уравнении равна правой. Способы решения уравнения могут варьироваться в зависимости от типа и степени его сложности.
Рассмотрим принципы работы над решением простого линейного уравнения. Для этого вам необходимо знать два основных правила, и уметь ими пользоваться:
На примере это выглядит таким образом: x + 4 = 8.
Перенесём четвёрку из левой части уравнения в правую, и плучим: x = 8 – 4.
Вычитаем из 8-ми 4-ре и получаем x = 4.
Проверим ответ на правильность: 4 + 4 = 8;
Для примера возьмём уравнение 5х = 10.
Из условия видно, что при переменной «х» есть коэффициент 5, и они объединены арифметическим действием — умножением.
Чтобы облегчить процесс решения уравнения, сделаем так, что при «х» будет стоять 1. Для этого нам нужно каждую часть уравнения разделить на 5: 5х = 10 (делим на пять).
Получаем: 5х / 5 = 10 / 5. Проведём сокращение полученных дробей, в результате выходит, что значение х = 2.
Решение простых линейных уравнений будет даваться вам проще, если вы запомните логическую последовательность действий, которые нужно совершить чтобы прийти к правильному решению:
если в уравнение присутствует действие в скобках, раскройте их в первую очередь;
перераспределите члены уравнения по принципу наличия либо отсутствия неизвестной переменной: в одной части члены с неизвестной переменной, в другой без неё;
приведите подобные члены уравнения в левой и правой частях;
решите уравнение, разделив обе его части на числовой коэффициент при неизвестной переменной.
В качестве примера приведём решение уравнения: 5 (x - 3) + 2 =3 (х - 4) + 2x – 1
Шаг №1. Раскроем скобки, и получим: 5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2x - 1;
Шаг №2. Перенесём в левую часть уравнения члены с неизвестной переменной, а в правую все остальные.
Помним, чтобы не допустить ошибки, нам нужно воспользоваться правилом переноса, то есть изменить знаки членов уравнения, которые переносятся, на противоположные.
Получаем: 5х – 3х - 2x = -12 - 1 + 15 - 2;
Шаг №3. Приводим подобные члены: 0x = 0; Значит верный ответ: «х» может быть любым числом.
Алгебраические выражения и уравнения на образовательной платформе iSmart
Алгебраические выражения, примеры с ними и более сложные алгебраические уравнения появляются в школьной программе в седьмом классе, когда ученики уже хорошо знакомы с арифметическими действиями и в идеале должны быстро усвоить новый для себя материал.
Но на практике всё оказывается гораздо сложнее. Дети зачастую просто не успевают разобраться в теме, как учитель уже, следуя программе, предлагает примеры и задачи в рамках следующей. В результате ребёнок начинает путаться, паниковать, и понимать алгебру всё хуже и хуже. Дальнейшая неизбежная ступень вниз — падение успеваемости, снижение четвертных и годовых оценок. И, если ученик и его родители не среагируют быстро, последствия могут коснуться итогового аттестата, и сказаться на возможностях поступления в ВУЗ (о том, как подготовиться к ЕГЭ для поступления в университет читайте в статье.
Дополнительные занятия по теме алгебраических выражений и уравнений — естественный, и самый правильный ход, который может исправить ситуацию. Но только в том случае, если они будут качественными и соответствовать способностям, уровню знаний и потребностям учащегося.
Образовательная платформа iSmart — это современный интерактивный сервис, работающий в режиме онлайн, и рассчитанный на запросы учеников с 1 по 11 классы. На iSmart пользователям доступно более 600.000 заданий по дисциплинам, входящим в школьную программу.
Специфика работы с платформой заключается в том, что ребёнок самостоятельно может выбрать:
Задания предлагаются детям в лёгкой увлекательной форме в соответствии с их возрастными особенностями, и снабжены грамотными подсказками. Так ученик может самостоятельно их выполнять, не прибегая к помощи взрослых. Подача материала на iSmart строго последовательна. Это означает, что ребёнок не может пропустить задание, не выполнив его. Платформа даёт доступ к следующему только получив от юного пользователя правильное решение предыдущей задачи. Интерфейс iSmart максимально адаптирован для детской аудитории. Платформой могут самостоятельно пользоваться даже ученики младших классов. Хватит всего нескольких занятий с родителями, чтобы ребёнку стало понятно, как учиться с iSmart.
В «Каталоге заданий» есть дополнительные разделы, которые помогут родителям проверить готовность дошкольника к поступлению в первый класс («Диагностика знаний») и улучшить его навыки чтения, письма и счёта («Подготовка к школе», «Логика»). Также на iSmart созданы комфортные условия для обучения детей с особыми потребностями («СПО») и юных вундеркиндов, которые, например, хотят научиться программированию до окончания школы (раздел «Python»).
Чтобы дети не переутомлялись, и сохраняли мотивацию к занятиям на iSmart надолго, разработчики платформы ввели систему поощрения в виде рейтинга и игровых денег (смарткойнов), которые ребёнок получает за каждое правильно выполненное задание, и затем может использовать в «Игре» на сайте.
Все задания на платформе соответствуют стандартам ФГОС, и абсолютно безопасны для детей любого возраста, равно как и «Умный помощник» Смарти — встроенный в платформу сервис ИИ, который даст ребёнку ответ на любой учебный вопрос в рамках школьной программы тут.
Если вы чувствуете необходимость в дополнительной проработке тем алгебраических выражений и уравнений, iSmart вам поможет.
Нужно всего лишь:
Сначала внимательно прочитаем условие задачи, и посмотрим на предложенное алгебраическое выражение. Вспомним, что переменной называется неизвестная величина в уравнении, которую необходимо вычислить. В данном случае это у нас «а».
Мы знаем, что делить на 0 нельзя, поэтому значение переменной не может приводить к 0 в знаменателе. Попробуем подставить в выражение последовательно каждое из предложенных значений переменной и упростить его. Если вам сложно разобраться или вы не уверены, что ход ваших мыслей правильный, нажмите на «Показать подсказку», внимательно ознакомьтесь с обеими подсказками. В результате окажется, что знаменатель обращается в 0, когда а = -1 или 1. Значит, допустимыми значениями будут 3 и 7. Отметьте верные ответы, проверьте их нажав «Подсказка (ответ)», зафиксируйте его в поле «Подтвердить» и приступайте к следующему заданию.
Единичные задания из основных разделов и подразделов iSmart доступны всем без исключения желающим познакомиться с функционалом образовательной платформы. Но, чтобы заниматься на постоянной основе, видеть прогресс и иметь доступ ко всем обучающим функциям, нужно зарегистрировать на iSmart личный аккаунт. Он состоит фактически из двух страниц: «Кабинета родителя» и «Кабинета ученика».
Родительский кабинет необходим, чтобы взрослый мог контролировать регулярность и успешность выполнения заданий, и при необходимости корректировать график занятий на iSmart.
Процесс регистрации очень прост, и занимает не более 10 минут. Внимательно прочитайте статью, следуйте описанному алгоритму, и присоединяйтесь к дружной компании учеников платформы!
iSmart в отличие от школы и репетиторов учит детей играючи. 10-15 минут занятий каждый день, и уже через несколько недель ваш ребёнок будет чувствовать себя во время ответов у доски куда увереннее, а четвёрки и пятёрки в четверти станут обыденной реальностью. Родители, если вы действительно заинтересованы, чтобы успеваемость вашего ребёнка росла с каждым годом, сделайте инвестицию в его будущее — зарегистрируйтесь на платформе, и убедитесь лично, что знания — это сила!
Читать также
