Квадрат — это прямоугольник, который выглядит очень просто: четыре одинаковых стороны и четыре прямых угла. Ещё у него есть две диагонали, которые соединяют его несмежные вершины, то есть противоположные углы.

Кажется, что все вычисления, связанные с этой фигурой, тоже должны быть простыми, но ребёнку задача найти площадь квадрата может показаться очень трудной.

Мы подготовили целых пять несложных формул, как найти площадь квадрата, если знать всего одну величину. Эти формулы легко запомнить и применять.

1. Когда известно, чему равна сторона квадрата

Так как у квадрата все стороны равны, для вычисления площади нужно просто умножить высоту на ширину. Или, другими словами, нам нужно возвести известную нам величину в квадрат, то есть умножить на саму себя. Эта формула выглядит так:

S = a × a

Или так:

S = a²

Где S – это площадь,

a – сторона квадрата.

Пример:

Если сторона а = 3 см, то площадь квадрата S равна:

S = 3 × 3 = 9 см²

или

S = 3² = 9 см²

2. Когда известно, чему равна диагональ квадрата

Диагональ – это отрезок, соединяющий противоположные вершины, то есть углы.

Мы получим площадь квадрата, если возведём диагональ в квадрат, то есть умножим длину диагонали на саму себя, а потом разделим получившуюся величину на два.

S = d² : 2

Где d – это диагональ.

Пример:

Если диагональ d равна 12 см, то площадь S равна:

S = 12² : 2 = 144 : 2 = 72 см²

3. Когда известно, чему равен радиус вписанной окружности

Окружность – это линия, обозначающая границы круга. Окружность называется вписанной в квадрат, если каждая из сторон квадрата касается окружности в одной точке.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Длина радиуса равна половине длины стороны квадрата. Если её умножить на саму себя (получить квадрат радиуса), то мы вычислим площадь четверти квадрата. Значит, чтобы узнать площадь всей фигуры, нам надо квадрат радиуса умножить на четыре.

S = r² × 4

Где r – это радиус вписанной окружности (радиус вписанной окружности обозначается маленькой буквой).

Пример:

Если радиус вписанной окружности r = 5, то площадь S равна:

S = 5² × 4 = 25 × 4 = 100 cм²

4. Когда известно, чему равен радиус описанной окружности

Описанной называется окружность, если каждый из углов квадрата касается окружности в одной точке.

Радиус описанной окружности нужно умножить сам на себя (возвести в квадрат) – так мы получим половину площади.

Теперь умножаем результат на два – и получаем площадь всего квадрата. Вот эта формула:

S = R² × 2

Где R – это радиус описанной окружности (радиус описанной окружности обозначается большой буквой).

Пример:

Если радиус описанной окружности R равен 22 см, то площадь квадрата S равна:

S = 22² × 2 = 484 × 2 = 968 см²

5. Когда известен периметр квадрата

Периметр квадрата – это сумма длин всех его сторон. Вот его формула:

P = а + а + а + а

Или

Р = а × 4

Чтобы найти площадь, мы возводим периметр в квадрат, и делим на 16:

S = Р² : 16

Где Р – это периметр.

Пример:

Если периметр квадрата P равен 7 см, то площадь S равна:

S = 14² : 16 = 196 : 16 = 12,25 см²

Важно!

Задачу нельзя решить, если длина и ширина будут даны в разных единицах измерения.

Например, мы знаем, что длина прямоугольника – 2 дм, а ширина – 13 см. Сможем ли мы вычислить площадь?

Чтобы найти площадь, нам надо длину умножить на ширину:

2 дм × 13 см

Если просто перемножить между собой цифры, то мы получим ответ 26. Но 26 чего? Сантиметров или дециметров? 26 – это неверный ответ.

Мы знаем, что в одном дециметре десять сантиметров. Поэтому нам нужно сначала посчитать, сколько сантиметров будет в двух дециметрах:

2 дм = 2 × 10 = 20 см

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника:

S = 20 × 13 = 260 см

Для правильного решения нужно перевести все данные к одной единице измерения – тогда всё получится.

Популярные единицы измерения площади и их обозначения:

Все единицы измерения, кроме гектара, предназначены для обозначения длины, поэтому для обозначения площади к ним добавляется двойка, тогда обозначения становятся не линейными, а квадратными.

Гектар – это изначально единица измерения площади квадрата со стороной 100 метров, поэтому к его обозначению двойка не добавляется.

Решение задач

А сейчас немного потренируемся:

Задание 1.

Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 80 мм:

d = 80 мм

S = ?

Решение:

S = d² : 2

Подставим в формулу значение диагонали:

S = 802 : 2 = 6400 : 2 = 3200 мм²

Ответ: 3200 мм².

Задание 2.

Нужно найти площадь квадрата, если радиус описанной окружности равен 14 см.

R = 14 см

S = ?

Решение:

S = R² × 2

Подставляем известное нам значение в формулу:

S = 14² × 2 = 196 × 2 = 392 см²

Ответ: 392 см².

Задание 3.

Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен 28 см.

r = 28 см

S = ?

Решение:

S = r² × 4

Подставляем значение:

S = 28² × 4 = 784 × 4 = 3136 см²

Ответ: 3136 см².

Дополнительные рекомендации

Ребёнку не всегда бывает просто уложить в голове формулы, «перевести» картинку, которую он видит, на язык символов. Лучше всего помогает многократное решение таких задач – успешные результаты хорошо закрепляются в памяти.

Заниматься удобнее дома, в спокойной обстановке, не переживая, что можно получить плохую оценку или неодобрение от учителя.

Чтобы домашние занятия были эффективными, зарегистрируйте ребёнка на платформе iSmart. Здесь собрано около тысячи примеров на эту тему. Занимаясь 15 минут в день, ваш школьник самостоятельно:

Регистрируйте ребёнка на платформе iSmart и начинайте заниматься!